算法(Algorithm)是指用来操作数据、解决程序问题的一组方法。对于同一个问题,使用不同的算法,也许最终得到的结果是一样的,但在过程中消耗的资源和时间却会有很大的区别

1.基本初等函数
2.时间复杂度
3.空间复杂度

1.基本初等函数

学习算法前,我们也必须回顾之前的数学知识,算法会涉及到基本初等函数的增量对比

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数指由基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的函数复合步骤所构成,并可用一个数学式子表示的函数。

衡量不同算法之间的优劣呢?主要还是从算法所占用的「时间」和「空间」两个维度去考量。

  • 时间维度:是指执行当前算法所消耗的时间,我们通常用「时间复杂度」来描述。
  • 空间维度:是指执行当前算法需要占用多少内存空间,我们通常用「空间复杂度」来描述。

2.时间复杂度

T(n) = O( f(n) ),其中f(n) 表示每行代码执行次数之和,而 O 表示正比例关系,这个公式的全称是:算法的渐进时间复杂度
可以浅显地理解为循环体中的循环执行次数

常见的时间复杂度量级有:

  • 常数阶O(1)
  • 对数阶O(logN)
  • 线性阶O(n)
  • 线性对数阶O(nlogN)
  • 平方阶O(n²)
  • 立方阶O(n³)
  • K次方阶O(n^k)
  • 指数阶(2^n)
    上面从上至下依次的时间复杂度越来越大,执行的效率越来越低
  1. 常数阶O(1)
    无论代码执行了多少行,只要是没有循环等复杂结构,那这个代码的时间复杂度就都是O(1),如:
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int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

上述代码在执行的时候,它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长,那么无论这类代码有多长,即使有几万几十万行,都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

  1. 线性阶O(n)
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for(i=1; i<=n; ++i)
{
j = i;
j++;
}

这段代码,for循环里面的代码会执行n遍,因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的,因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度。

  1. 对数阶O(logN)
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int i = 1;
while(i<n)
{
i = i * 2;
}

从上面代码可以看到,在while循环里面,每次都将 i 乘以 2,乘完之后,i 距离 n 就越来越近了。我们试着求解一下,假设循环x次之后,i 就大于 2 了,此时这个循环就退出了,也就是说 2 的 x 次方等于 n,那么 x = log2^n
也就是说当循环 log2^n 次以后,这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为:O(logn)

  1. 线性对数阶O(nlogN)

线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解,将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话,那么它的时间复杂度就是 n * O(logN),也就是了O(nlogN)。

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for(m=1; m<n; m++)
{
i = 1;
while(i<n)
{
i = i * 2;
}
}
  1. 平方阶O(n²)

平方阶O(n²) 就更容易理解了,如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍,它的时间复杂度就是 O(n²) 了。
举例:

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for(x=1; i<=n; x++)
{
for(i=1; i<=n; i++)
{
j = i;
j++;
}
}

这段代码其实就是嵌套了2层n循环,它的时间复杂度就是 O(n*n),即 O(n²)
如果将其中一层循环的n改成m,即:

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let m = 6, n=6;
for(let x=1; x<=m; x++)
{
for(let i=1; i<=n; i++)
{
console.log("当前的行列式为:["+x+","+i+"]");
}
}

那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)

3.空间复杂度

既然时间复杂度不是用来计算程序具体耗时的,那么我也应该明白,空间复杂度也不是用来计算程序实际占用的空间的

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的一个量度,同样反映的是一个趋势,我们用 S(n) 来定义。

空间复杂度比较常用的有:O(1)、O(n)、O(n²)


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